જો $f(x) = \int\limits_0^x {\frac{1}{{\sqrt {1 + {t^3}} }}\,} dt$ અને $h(x)$ એ $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય હોય,તો $\frac{{h''(x)}}{{{h^2}(x)}}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: X \rightarrow Y$ એક વ્યસ્ત સંપન્ન વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f$ નો વ્યસ્ત વિધેય અનન્ય છે.
(સૂચન: ધારો કે $g_{1}$ અને $g_{2}$ એ $f$ ના બે વ્યસ્ત વિધેયો છે. તો દરેક $y \in Y$ માટે,$f \circ g_{1}(y) = I_{Y}(y) = f \circ g_{2}(y)$ થાય. $f$ ના એક-એક ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરો.)

ધારો કે $A = \{1, 2, 3\}$ અને $B = \{1, 3, 5\}$. એક સંબંધ $R: A \to B$ એ $R = \{(1, 3), (1, 5), (2, 1)\}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો ${R^{-1}}$ નીચેનામાંથી કયું છે?

જો $f(x) = 2 + |\sin^{-1} x|$ અને $A = \{x \in R : f^{-1}(x) \text{ અસ્તિત્વ ધરાવે છે} \}$ હોય,તો $A = $

ધારો કે $f(x) = x^3 + 8x + 3$. વિકલિતના કયા ગુણધર્મને કારણે તમે એ નિષ્કર્ષ પર આવી શકો છો કે $f(x)$ નું પ્રતિવિધેય (inverse) અસ્તિત્વ ધરાવે છે?

વિધેય $f(x) = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ નું પ્રતિવિધેય શોધો.